探析数学思想的培养——以极限思想为例

  探析数学思想的培养——以极限思想为例[摘要]基本的数学思想是蕴藏于知识与技能中的精华。学生只有对知识背后隐含的数学思想了然于胸,才能做到游刃有余。对于极限思想,教师在教学相关内容时不能以超纲为由,刻意回避,而应找到渗透极限思想的触发点爆发点及落脚点,培养学生的数学思想。

[关键词]极限思想;数学思想;培养

  

[中图分类号]G623.5[文献标识码]A[文章编号]1007-9068(2017)17-0079-01

  

在数学学习中,当学生把贮藏在脑海里的公式、定理、定律、经典例题都忘却,剩下的便是精华——数学思想与直觉经验。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。下面,笔者以极限思想为例,从三个方面分析学生数学思想的培养。

  

一、以极限思想为触发点

  

小学数学课程涉及集合思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等基本思想。在小学阶段,极限思想的学习离不开无限思想的积累,教师应让学生通过相关数学知识的学习,适度体会无限,进而感受极限。为此,苏教版小学数学教材每一册都安排了相关内容,以丰富学生的认知。

  

通过对教材中涉及极限思想的内容的统计与分析,我们可以发现编者的意图——由浅入深、循序渐进。这种教学安排非常适合小学生:学生通过计数发现自然数的个数是无穷的,不存在最大的数;通过空间想象,清楚地意识到直线和射线是无限延长的;通过对基础数论知识的了解,深入理解一个分数在值不变的情况下可以变换出无限种不同的形式……这些知识虽然绕不开无限思想,但小学生基于原有的知识和经验,借助特定的学习情境,能对无限形成理性认知。

  

在教学过程中,教师要牢牢把握每个内容的触发点,帮助学生从无法想象的无限过渡到可以研究的极限。圆的面积就是一个典型的例子。学生将圆分成若干(偶数)等份,剪开后拼一拼,再经过想象和推理,认识到均分圆的份数越多,每份的面积越小,拼成的图形就越接近长方形。教师还借助几何画板软件,动态展示切分越细,效果越逼真的函数变化效果图。

  

二、感触极限思想的爆发点

  

利用极限切分改组后的圆形可以等同于一个长方形,推导出圆的面积公式,是因为例子带有直观性和客观性,学生可以充分利用形象思维理解知识,而遇到一些较抽象的问题时,学生则需在感性思维的基础上进行二次想象。教师可以设计计算

  

…+

  

这样的习题,引导学生在已有的表象储备上进行创造性想象,自主感悟和为1的原因。

  

极限思想是一个逐渐加码的过程,教师可先让学生从有限的运算开始想象:

  

  

 

  

……通过不断加码,最后由有限渐至无限,计算结果用代数式表示为

  

。不断往后加码时,m与m-1同时无限增大,它们之间的差值1相对于这种变化逐渐可以忽略不计。因此,m与m-1的商就会逐渐趋近于1,直至等于1。教学实践表明,学生的思维从结果无限接近于1向结果就是1转变的过程是艰难的,部分学生甚至认为这是绝对不可能的。这就需要教师找到思维的爆发点,帮助学生打破思维障碍。

  

诚然,学生出现思维障碍,即想不通关键点,是很正常的。这个关键点就是从无限思想到极限思想的认知跨越。为培养学生的数学思想,教材通过数形结合的方法,化抽象为具体,通过线段图帮助学生理解知识。

  

三、定位极限思想的落脚点

  

学生学习极限思想时之所以感到困难,是因为极限思想具有高度的抽象性。因此,数学教师要在课前研读教材,定位极限的落脚点,促使学生对极限思想的认知从模糊转变为清晰,即刷出极限的存在感。

  

例如,前面提到学生通过加码来理解和消化结果等于1,教师趁热打铁,设计了一个现场作业活动:让一位同学分一杯水(即单位1),把一杯水倒出一半,再由另一个同学倒出剩下的水的一半,以此类推,直到杯中的水倒完为止。在教学中让学生停下来动一动、想一想,可有效放缓思维速度,促使学生感悟极限思想无疑比单纯讲解题目更有效。

  

此外,运用风趣生动的讲解艺术也是一种培养学生数学思想的有效策略。课后,教师可以做一个总结:你不敢想的地方不是极限,你无法操作的地方也不是极限,极限是你无法想象却又近在眼前、触手可及的地方。

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